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Démontrer l'unicité de la fonction exponentielle

 
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Richou !
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Nom et Prénom: Richard Degenne

MessagePosté le: Mer 14 Sep - 15:09 (2011)    Sujet du message: Démontrer l'unicité de la fonction exponentielle Répondre en citant

Bonjour,

Je vous rappelle le théorème tel qu'il est donné dans le cours :

Citation:
On admet qu'il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifie :
• $f(0) = 1$ ;
• $f'(x) = f(x)$.


L'existence d'une telle fonction est admise en terminale S, mais nous pouvons démontrer son unicité. Voici le raisonnement, qui est plus important que la rédaction !

1. On pose $f_1(x)$ et $f_2(x)$ deux fonctions respectant les conditions données dans le théorème.
2. On pose $\pi(x) = \dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}$
3. On calcule $\pi'(x) = 0$
4. On déduit que $\pi(x) = k$
5. On calcule $\pi(0) = 1$
6. On déduit que $f_1(x) = f_2(x)$

Retenez bien le cheminement de la démonstration ! C'est le plus important. Voici maintenant la forme rédigée de la démonstration.

Soient $f_1$ et $f_2$ deux fonctions respectant les conditions énoncées dans le théorème. On pose $\pi(x) = \dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}$ et que l'on veut dériver.
$\pi$ est le quotient de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ tel que $f_2(x) \neq 0$. $\pi$ est donc dérivable sur $\mathbb{R}$.

$\begin{array}{rl}
\pi'(x) & = \dfrac{f_1'(x) \times f_2(x)\ -\ f_1(x) \times f_2'(x)}{{f_2}^2(x)}\\
& = \dfrac{f_1(x) \times f_2(x)\ -\ f_1(x) \times f_2(x)}{{f_2}^2(x)}\\
& = 0\\
\end{array}$

Donc, il existe un réel $k$ tel que $\pi(x) = k$. Déterminons $k$.

$\begin{array}{rl}
\pi(0) & = \dfrac{f_1(0)}{f_2(0)}\\
& = 1\\
& = k\\
\end{array}$

Donc, $\pi(x) = 1$. On en déduit que $f_1(x) = f_2(x)$, quelque soit le réel $x$. $\blacksquare$

Et voilà ! Razz Si vous voulez poster vous-même d'autres ROC, ne vous gênez pas !
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Dernière édition par Richou ! le Sam 17 Sep - 08:20 (2011); édité 2 fois
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Nom et Prénom: Decroix Rémi

MessagePosté le: Mer 14 Sep - 15:19 (2011)    Sujet du message: Démontrer l'unicité de la fonction exponentielle Répondre en citant

Super ton ROC mais il y a juste un petit faute de frappe vers la fin ! Wink C'est $f_2(x)$ ! Wink et non $d_2(x)$ !

Mais sinon c'est plus clair que dans mon cours Giggling
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Richou !
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Messages: 163
Nom et Prénom: Richard Degenne

MessagePosté le: Sam 17 Sep - 08:15 (2011)    Sujet du message: Démontrer l'unicité de la fonction exponentielle Répondre en citant

Oui, bien vu !

Voilà, c'est rectifié ! Smile
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