Posté le: Mer 14 Sep - 15:09 (2011) Sujet du message: Démontrer l'unicité de la fonction exponentielle
Bonjour,
Je vous rappelle le théorème tel qu'il est donné dans le cours :
Citation:
On admet qu'il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifie : • $f(0) = 1$ ; • $f'(x) = f(x)$.
L'existence d'une telle fonction est admise en terminale S, mais nous pouvons démontrer son unicité. Voici le raisonnement, qui est plus important que la rédaction !
1. On pose $f_1(x)$ et $f_2(x)$ deux fonctions respectant les conditions données dans le théorème. 2. On pose $\pi(x) = \dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}$ 3. On calcule $\pi'(x) = 0$ 4. On déduit que $\pi(x) = k$ 5. On calcule $\pi(0) = 1$ 6. On déduit que $f_1(x) = f_2(x)$
Retenez bien le cheminement de la démonstration ! C'est le plus important. Voici maintenant la forme rédigée de la démonstration.
Soient $f_1$ et $f_2$ deux fonctions respectant les conditions énoncées dans le théorème. On pose $\pi(x) = \dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}$ et que l'on veut dériver. $\pi$ est le quotient de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ tel que $f_2(x) \neq 0$. $\pi$ est donc dérivable sur $\mathbb{R}$.